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年 级 内容标题

高一 学 科 数学 版 本 人教实验A版 对数运算、对数函数 【本讲教育信息】

一. 教学内容：

对数运算、对数函数

二. 重点、难点： 1. 对数运算

a?0,b?0,a?1,b?1,M?0,N?0

x（1）logaN?x?a?N

（2）loga1?0 （3）logaa?1

（4）aa?N

（5）loga(M?N)?logaM?logaN

logNM?logaM?logaN Nx（7）logaM?x?logaM

（6）loga（8）logaM?logbM/logba

ylogab x（10）logab?logba?1

2. 对数函数y?logax，a?0且a?1 定义域 （0,）

（9）logaxb?y值域 R

单调性 a?(0,1)? a?(1,)?

奇偶性 非奇非偶 过定点 （1，0）

y?logax与y?log1x关于x轴对称 图象

a

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【典型例题】

[例1] 求值

（1）()19log37? ；

3?log1520?log154? ； 22（3）(log62)?log62?log63?log618? ；

（2）log152?log15（4）log916?log3281? ；

（5）(log43?log83)(log35?log95)?(log52?log252)? ； （6）lg25?lg2?lg50?(lg2)? 。 解：

（1）原式?(3)?2log37?2log37log37?22?3?3?7?2?1 49（2）原式?log1515?1

（3）原式?log62?(log62?log63)?log618

?log62?log618 ?log636

?2448（4）原式?(log32)?(log23)?

25553315（5）原式?(log23)?(log35)?(log52)?

6228（6）原式?lg25?lg2(lg50?lg2)

?lg25?2lg2 ?lg100

?2

[例2] 若x,y,z满足log2[log1(log2x)]?log3[log1(log3y)]?log5[log1(log5z)]

235?0，试比较x、y、z的大小关系。

1115

解：log2〔log1 (log2x)〕＝0?log1(log2x)＝1?log2x＝?x＝2＝(2)30.

222同理可得 y＝33＝(310)

10

15

6

1306 55＝(5),z＝130130.

∵3>2>5，由幂函数y＝x在(0，+∞)上递增知，y>x>z.

[例3] 若loga1b1?loga2b2?……?loganbn，则log(a1a2?an)(b1?b2?bn)? 。

?解：由已知b1?a1，b2?a2?bn?an

?∴ (b1?bn)?(a1?an)

∴ log(a1?an)(b1b2?bn)

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[例4] 图中四条对数函数y?logax图象，底数a为3,C1，C2，C3，C4的值依次为（ ）

A.

431,,这四个值，则相对应的35104313,,, B. 35104134314133,,, C. ,3,, D. ,3,, 310535103105答案：A

[例5] 求下列函数定义域

（1）y?lg[lg(lgx)]

（2）y?lg(x?3x?4) （3）y?2

log1(x?1)

2解：

（1）lg[lgx]?0?lg1 ∴ lgx?1 ∴ x?(10,) （2）x?3x?4?0 x?(,?1)?(4,) （3）0?x?1?1 x?(1,2]

[例6] 求下列函数的增区间

（1）y?log2x?1 （2）y?log1(x?2x?8)

222解：

（1）y?log2t? t?x?1 (,1)?(1,)? ∴ y?f(x)在（1,）?

2（2）y?log1t? t?x?2x?8 (,?2)?(4,)?

2∴ y?f(x)在(,?2)?

[例7] 研究函数y?f(x)?log2(x2?1?x)的定义域、值域、奇偶性、单调性。

解：（1）x?1?2x2?x?x ∴ x2?1?x?0 ∴ 定义域为R

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（2）x?R

x2?1?x?(0,) ∴ y?R为值域

1x2?1?x（3）f(?x)?log2[(?x)2?1?(?x)]?log2(x2?1?x) ?log2∴ 奇函数

（4）x?(0,)时，y?log2(x?1?x)?log22?log2(x2?1?x)?1f(x)

1x?1?x2

t?1x?1?x2? y?log2t? ∴ y?f(x)在(0,)上?

∵ 奇函数 ∴ y?f(x)为R上?

[例8] 已知x?(0,1)，a?0且a?1，试比较loga(1?x)与loga(1?x)的大小关系。

解：

（1）a?(0,1)时，loga(1?x)?loga(1?x)

loga(1?x)?loga(1?x)loga(1?x2)?0

（2）a?(1,)时，loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)?loga(1?x)

?loga(1?x2)?0

综上所述，loga(1?x)?loga(1?x)

2[例9] 函数y?f(x)?log2(kx?4kx?3)

（1）若定义域为R，求k的取值范围。 （2）若值域为R，求k的取值范围。 解：

（1）k?0时，y?log23 x?R

?k?033k?[0,) ?0?k? ∴ ?244?16k?12k?0?k?03（2）k?[,) 2416k?12k?0?

【模拟试题】（答题时间：30分钟）

1. 求值：

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1?log52)? ； 125lg4?lg5?1? ； （2）

2lg0.5?lg8（3）(log26)(log36)?(log23?log32)? ；

（1）(（4）lg2?lg3?(lg6)?lg66?2lg6? 。 2. 正实数x,y满足3?4?6

xyz2111 zx2y（2）比较3x,4y,6y的大小关系

3. 已知log32?a，log52?b试用a,b表示log3090

（1）求证：

224. x?(1,d)，a?logdx，b?logdx，c?logd(logdx)，试比较a,b,c大小关系。

ab,logb,logba,logab的大小关系是 。 ba 6. n?m?1，试比较logmn与log2m2n的大小关系。

5. 若a?b?a?1，则loga2x 7. 研究函数y?f(x)?loga(a?1)（a?0且a?1）的定义域及单调性。

【试题答案】

1.

?3(?log52)?5log58?8 （1）5lg2（2）原式?2?1

lg（3）(1?log23)(1?log32)?(log23?log32)?2

（4）lg2?lg3?(lg6?1)?lg6?1?lg6?1 2.

xyzk（1）令3?4?6?10?0

2kkky?z?

lg3lg4lg61111(lg6?lg3)?lg2 zxkk1lg41lg2 ∴ 成立 2y2kk3k4k3lg4?4lg3k?（2）3x?4y? lg3lg4lg3?lg4k?[lg64?lg81]?0 ?lg3?lg4∴ x?精品资料 欢迎下载

4k6kk?[4lg6?6lg4] lg4lg6lg4?lg62k[lg36?lg64]?0 ?lg4?lg6∴ 3x?4y?6z 4y?6z1?log23a3. ?

1log52b21?log2901?2log3?log5ab?ab?a?2b 22 log3090?11log2301?logab?a?b23?log251ab4. a?logdx?logdx b?2?logdx ∵ logdx?(0,1)

1? ∴ b?a?0?c

ab1?1?logab?0 log?1?loga?0?(0,) bbba21balogb?(1,2) log ∴ a?(,1)logb?loga?log?logababba2ablog2n1?log2nlog2n?log2m?0 6. logmn?log2m2n?log2m1?log2mlog2m(1?log2m)5. loga7.

x0（1）a?(0,1) a?1?a ∴ 定义域为(,0) y?logat?

t?ax?1? ∴ y?f(x)?

（2）a?(1,) a?1?a ∴ 定义域为(0,)

x0y?logat? t?ax?1? ∴ y?f(x)?